و مرزی می¬توان عملکرد نهایی سیستم را پیش¬بینی نمود. در این سیستم¬ها اگر در شرایط اولیه کمی تغییرات ایجاد شود در عملکرد نهایی آن¬ها تغییری صورت نمی¬گیرد، چنانچه تاثیری هم داشته باشد، فقط به اندازه¬ی می-باشد که از آن می¬توان به عنوان یک خطای جزیی نام برد و تاثیر در عملکرد نهایی سیستم ندارد. اما تعدادی از سیستم¬¬های دینامیکی وجود دارند که فقط در یک محدوده¬ی خاص، اگر شرایط اولیه آن¬ها تغییر کنند قابل پیش¬بینی هستند. در محدود¬های دیگر به شرایط اولیه خیلی حساس می¬شوند به-طوری که با کوچکترین تغییر در شرایط اولیه عملکرد نهایی سیستم تغییر می¬کند و قابل پیش بینی نمی¬باشد. به این نوع سیستم، سیستم آشوبناک می¬گویند. برای درک بهتر سیستم آشوبناک، معادله 1-2 را در نظر بگیرید:

اگر 1c= و شرایط اولیه جهت شروع 0.8×0= داشته باشیم، جواب سیستم 1-2 به صورت زیر می-شود:
{… ، 1.0، 1.0، 1.0، 0.9، 0.8}= x
همان¬طور که مشاهده می¬شود به عدد “1” همگرا گردیده است. حال اگر 1 c= و مقدار اولیه 0.9×0= باشد جواب بصورت زیر می¬شود:
{… ،1.0، 1.0، 0.99، 0.9} = x
مجدداً جواب به عدد “1” همگرا شده است، پس در محدوده¬ی 1c= با اینکه شرایط اولیه سیستم تغییر یافته جواب معادله 1-2 به عدد “1” همگرا می¬گردد. حال اگر 2.5 c= و شرایط اولیه 0.2 x0= در معادله بگذاریم، اعداد به صورت زیر می¬شود:
{… 1.2000، 0.6000، 1.2000، 0.6000، 0.2000} =x
اعداد بین 0.6 و 1.2 نوسان می¬کند. حال اگر c همان باشد و شرایط اولیه تغییر کند دنباله اعداد بین دو عدد 0.6 تا 1.2 تکرار می¬شود. حال در معادله 1-2 مقدار 3c= و شرایط اولیه را نیز 0.5 x0= باشد جواب بصورت زیر می¬شود:
{… 1.2600، 0.8200، 1.0800، 0.9600، 0.3100، 1.2500، 0.5000}= x
همان¬طور که مشاهده می¬کنید رفتار سیستم قابل پیش¬بینی نمی¬باشد، اگر باز هم با 3c= شرایط اولیه را تغییر دهیم دنباله تغییر می¬کند و قابل پیش¬بینی نمی¬باشد پس این دنباله را آشوبی می¬گویند.
یک نمونه از مولدهای آشوبی در زیر ذکر می¬کنیم.
1-3-3-1 نگاشت معادله درجه دوم
همان¬طور که از اسم آن معلوم است یک معادله درجه دوم می¬باشد. این معادله، یک معادله غیرخطی است و خروجی آن شدیداً وابسته به حالت قبلی می¬باشد؛ معادله آن به صورت زیر است:

اگر 4 A= و 0.5 B=قرار دهیم نگاشت درجه دوم به یک نگاشت آشوبی تبدیل می¬شود. در شکل 1-6 نمودار دو بعدی و سه بعدی نگاشت معادله درجه دوم را نشان می¬دهند.
چند نمونه دیگر از مولدهای آشوبی نیز در پیوست “الف” ذکر شده است.

(الف)
(ب)

(پ)
شکل 1-6: نمودار نگاشت آشوبی معادله درجه دوم با مقادیر A=4 ، B=0.5 و x[0]=0.1
(الف) نمودار 600 نقطه از دنباله آشوبی
(ب ) نمودار نگاشت آشوبی در دو بعد
(پ) نمودارنگاشت آشوبی در فاز سه بعد

فصل دوم
مروری بر مطالعات انجام شده

2-1 مقدمه
پس از بررسی اجمالی مبانی آشوب و تاریخچه¬ی کاربرد آن در ارسال داده¬ها، در این فصل به مرور مطالعات انجام شده در چند سال اخیر می¬پردازیم.

2-2 کارهای انجام شده توسط دیگران
کارهای صورت گرفته در زمینه مخابرات آشوب، بسیار گسترده می¬باشد. در این فصل از پایان¬نامه، مقالات سال¬های 2008 تا 2013 را مرور خواهیم کرد. مقالات را براساس کانال¬های مخابراتی به سه دسته تقسیم نموده¬ایم، دسته اول مقالاتی است که بر اساس کانال AWGN طراحی شده¬اند، دسته دوم مبتنی بر کانال چندمسیره و دسته سوم شامل هر دو کانال می¬باشند. بر حسب موضوع، مقالات منتشر شده در سال¬های 2008 تا 2013 هر دسته را به چند بخش تقسیم می¬نماییم.
2-2-1 مطالعات انجام شده در کانال AWGN
در کانال AWGN سیگنال داده¬ها هنگام عبور از کانال به آن نویز سفید گوسی افزوده می¬شود. کانالAWGN یک کانال خطی است که در برابر محوشدگی و پراکندگی حساس نمی¬باشد. این کانال یک مدل خوب برای ارتباطات بی¬سیم است. خیلی از محققان در تحقیقات خود از این مدل کانال استفاده کرده¬اند.
2-2-1-1 بهبود عملکرد سیستم MC-DS/CDMA و MIMO MC-DS/CDMA با استفاده از دنباله گسترده آشوبی
در سیستم¬های MC-DS/CDMA با افزایش تعداد کاربران، تداخل دسترسی چندگانه افزایش می-یابد. گیرنده این سیستم¬ها در صورتی می¬تواند کاربران را تشخیص دهد که همبستگی متقابل بین کد¬های به کار رفته کم باشد. چنانچه این ویژگی بین کد¬ها وجود نداشته باشد، سبب کاهش ظرفیت و کیفیت سیستم می¬گردد. در مقاله (Nagarajan and Dananjayan, 2008) نگارجن و دنانجایان جهت کاهش تداخل دسترسی چندگانه، در پژوهشان از کد¬های آشوبی استفاده نموده¬اند؛ زیرا همبستگی متقابل بین کد¬های آشوبی، کم می¬باشد. جهت کنترل توان در سیستم MC-DS/CDMA از الگوریتم NPGP استفاده کرده¬اند.
این الگوریتم، یک ارتباط ساده میان محاسبه¬گر و محیط پیرامون می¬باشد. می¬توان با پرسیدن یک سوال مانند درخواست یک ورودی و یا جواب دادن به یک سوال مانند ارسال خروجی، اشاره کرد. با این روش سیستم می¬تواند ورودی¬های خود را به¬طور قطعه، قطعه پردازش کند.
این دو محقق سیستم پیشنهادی خود را به¬طور جداگانه با کدهای آشوبی و کد¬های والش مورد بررسی و شبیه¬سازی قرار داده¬اند. نتایج شبیه¬سازی در شکل 2-1 آورده شده است. نتایج نشان می-دهند که تداخل در سیستم پیشنهادی با کد¬های آشوبی کاهش یافته است.

شکل 2-1 : بهره کل نسبت به توان نویز AWGN Nagarajan and Dananjayan, 2008))

در سال 2010 این دو محقق، همان مساله قبل با همان خصوصیات مذکور را این بار با آرایه آنتن MIMO پیاده¬سازی نمودند. شکل 2-2 نتایج شبیه¬سازی را نشان می¬دهد؛ مجدداً نتایج نشان می-دهند که تداخل در سیستم پیشنهادی با کد¬های آشوبی نسبت به کد¬های والش کمتر شده است Nagarajan and Dananjayan, 2010)).

2-2-1-2 بهبود عملکرد FM-DCSK
یکی از سیستم¬های آشوبی که مورد توجه خیلی از محققان قرار گرفته است، سیستم FM-DCSK است. در سیستم FM-DCSK جهت ارسال اطلاعات از دو تابع استفاده می¬شود. این سیستم آشوبی در مقایسه با مدولاسیون¬های معمولی مشکلاتی از جمله، نرخ خطای بیت نصف و انرژی هر بیت ارسالی دو برابر می¬باشد. راه¬های مختلفی در جهت رفع این مشکل ارائه شده است. یکی از این راه¬ها در شکل 2-3 قابل مشاهده است. در سیستم اصلی FM-DCSK به ازای یک بیت دو سیگنال ارسال می¬شود اما در سیستم پیشنهادی (شکل 2-3) به ازای N بیت، (N+1) سیگنال ارسال می¬گردد. به بیان دیگر به ازای هر N بیت، یک سیگنال مرجع ارسال می¬شود. در فرستنده سوئیچ، به ازای هر بیت یک تغییر وضعیت می¬دهد. در نتیجه یک شبکه با N مسیر تاخیری ایجاد می¬کند. در گیرنده، به یک شبکه N تاخیری نیاز است برای همین منظور، پیاده¬سازی سخت و پیچیده می¬شود. بلوک دیاگرام سیستم بهبود یافته در شکل 2-4 آورده شده است.

شکل 2-2: بهره کل نسبت به توان نویز AWGN Nagarajan and Dananjayan, 2010))

شکل2-3 : تقسیم زمانی سیستم اصلی FM-DCSK (شکل بالا) و سیستم بهبود یافته (شکل پایین) (Chen, Xu, Wang, 2008)

شکل 2-4: بلوک دیاگرام سیستم بهبود یافته FM-DCSK Chen et al. , 2008))

برای مقابله با پیچیدگی در روش بهبود یافته سیستم FM-DCSK در مقاله Chen et al. , 2008)) روش کدگذاری- تفاضلی در فرستنده و الگوریتم تصیح خطا در گیرنده پیشنهاد شده است. بلوک دیاگرام سیستم بهبود یافته با کد تفاضلی در شکل 2-5 قابل مشاهده است.
استفاده از کدگذاری تفاضلی در فرستنده، N بیت با یک سیگنال مرجع ارسال می¬شود. الگوریتم تصیح خطا در گیرنده، براساس همبستگی سیگنال¬های دریافتی محاسبه می¬گردد. این روش پیشنهادی، مشکلات سیستم FM-DCSK حل می¬کند، همچنین سیستم پیشنهادی از پیچیدگی کمتری برخوردار می¬باشد. در این باب کار¬های دیگری هم صورت گرفته است (Wang, Zhang, Chen, 2008) .

شکل 2-5: بلوک دیاگرام بهبود یافته سیستم FM-DCSK با کدگذاری تفاضلی Chen et al. , 2008))

2-2-1-3 بهبود عملکرد سیستم FM-DCSK UWB
سیستم فرا پهن¬باند ، بدلیل توانایی ارائه نرخ بیت بالا و توان مصرفی بسیار پایین برای مخابرات داخل ساختمان و شبکه¬های بی¬سیم شخصی مورد استفاده قرار می¬گیرد. سیستم UWB به جای ارسال حامل¬های سینوسی پالس¬های بسیار باریک که پهنای باند وسیعی دارند ارسال می¬کند (دشتی و همکاران، 1384).
به تازگی، ترکیب سیستمUWB با مدولاسیون FM-DCSK نسبت به مدولاسیون¬های معمولی مورد توجه واقع شده است. در این مدولاسیون اشکالاتی موجود است، مثل کم کارآمدی انرژی و پیاده سازی پیچیده در دستیابی چندگانه است.
در مقاله Wang, Min, Chen, 2011)) جهت مقابله با این مشکلات، معماری آنتن تک¬ورودی و چند-خروجی (SIMO) در سیستم FM-DCSK UWB به¬کار برده است. در این طرح جدید، از دو آشکارساز همبستگی تفاضلی و حداکثر احتمال عمومی استفاده نموده است.
در سیستم FM-DCSK UWB جهت ارسال تعداد پالس¬ها به ازای هر سمبل و زمان تاخیری، از توابع مرتبه بالای والش (M) استفاده می¬شود. مدت زمان تاخیر پالس براساس است که در آن T مدت زمان بیت به حساب می¬آید. در سیستم FM-DCSK UWB با افزایش تعداد M راندمان سیستم افزایش پیدا می¬کند، اما از سوی دیگر با افزایش M زمان تاخیری و انرژی هر پالس کاهش می¬یابد؛ این امر موجب بدتر شدن نرخ خطای بیت می¬شود، همچنین پیچیدگی سیستم بیشتر می¬گردد.
در مقاله Wang et al., 2011)) یک روش تقسیم زمانی جدید ارائه شده است. در روش تقسیم زمانی جدید تنها تفاوت آن با روش قبلی، فقط در زمان است. مدت زمان بین پالس¬ها را به اندازه Td (مدت زمان سمبل) ثابت در نظر گرفته می¬شود. با افزایش تعداد M مشکلی در نرخ خطای بیت نسبت به سیستم اصلی به وجود نمی¬آید و نرخ خطای بیت بهتر می¬شود، همچنین پیچیدگی سیستم کمتر می¬گردد.
نتایج شبیه¬سازی سیستم FM-DCSK UWB با دو آشکارساز DC و GML در شکل 2-6 آورده شده است. نتایج نشان می¬دهد که سیستم SIMO FM-DCSK UWB با استفاده از آشکارساز GML و روش تقسیم زمانی جدید عملکرد بهتری دارد.
نتایج شبیه¬سازی سیستم اصلی با سیستم پیشنهادی، با مرتبه مختلف تابع والش در شکل 2-7 آورده شده است.

شکل2-6 : مقایسه عملکرد BER بین UWB FM-DCSK موجود و سیستم SIMO FM-DCSK UWB پیشنهادی (Wang et al., 2011)

شکل 2-7 : عملکرد سیستم SIMO FM-DCSK UWBبا مرتبه مختلف والش a) سیستم اصلی b) سیستم بهبود یافته (Wang et al., 2011)
محققین مقاله Wang et al., 2011)) در (Chen, Wang, Chen, 2011) جهت بهبود